„Mūsų taikomosios matematikos srityje pažangą dažnai lėmė ne tik patys sprendimai, bet ir ilgas, žmonių atliekamas bandymų bei klaidų procesas.
Šiemet dirbtinio intelekto modeliai stulbinančiu efektyvumu vieną po kitos sprendžia atviras matematikos problemas. Šis procesas ypač paspartėjo rugsėjo pradžioje, kai „OpenAI“ pasitelkė 10 000 agentų „Navier-Stokes“ lygčių problemai spręsti ir įveikė ją vos per 88 valandas. Vos vakar bendrovė paskelbė, kad tas pats vidinis modelis jau „išsprendė daugiau nei 100 ilgą laiką neišspręstų problemų įvairiose matematikos srityse“ – šiuos rezultatus „OpenAI“ laikė neviešintus, kol ieškojo „geriausio būdo informuoti bendruomenę apie sparčią pažangą, kad ši galėtų pasirengti ir prisitaikyti prie pokyčių šioje srityje“. Vis dėlto kai kurie matematikai dabar brėžia ribą: jų nuomone, „srities pritaikymas“ (siekiant ją supaprastinti ar automatizuoti) gali ją ištuštinti iš vidaus. Šį mėnesį 27 Fildso medalio – aukščiausio matematikos apdovanojimo – laureatai pasirašė bendrą deklaraciją, kurioje teigiama, kad garsių neišspręstų uždavinių įveikimas pats savaime nėra tikslas. Tokie uždaviniai, anot jų, yra „orientyrai ir švyturiai“, kurių gilesnė paskirtis – vesti matematikus konceptualaus supratimo ir įžvalgų link.
Terence’as Tao, vienas iš deklaraciją pasirašiusiųjų ir vienas garsiausių šiuolaikinių matematikų, šį susirūpinimą išreiškė dar griežčiau. Jis apibūdino vykstančius procesus kaip matematikos „plėšriąją gavybą“. Geri uždaviniai, jo teigimu, prilygsta neatsinaujinantiems ištekliams. Kai kurie iš jų – mažesni ir lengvesni – gali padėti ugdyti naują matematikų kartą. Jaunieji tyrėjai prie jų mokosi ir įgyja žinių, reikalingų norint stumti šią sritį į priekį. Jei dirbtinis intelektas „išsemtų“ didžiuosius uždavinius ir su jais susijusias problemas, tai galėtų sunaikinti visą matematinę ekosistemą. T. Tao netgi pasiūlė kai kuriuos klausimus apsaugoti nuo automatinių sprendimo įrankių – tarsi įsteigti jiems specialius draustinius.
Tarp dirbtinio intelekto entuziastų ši deklaracija internete sutikta skeptiškai ir pašaipiai. Argi matematiniai uždaviniai nėra skirti tam, kad būtų sprendžiami? Jei dirbtinis intelektas gali juos išspręsti greičiau ir geriau už mus, ar tai nėra pažanga? Žvelgiant iš šalies, matematikų reikalavimas išsaugoti žmogaus supratimą atrodė kaip profesinio cecho interesų gynimas – bandymas išsaugoti savo sritį dabar, kai mašinos pradeda juos įveikti jų pačių žaidime.
Tokioje skeptiškoje reakcijoje neįvertinamas svarbus skirtumas matematikos kultūros viduje. Fildso medalio laureatai dažniausiai yra „grynosios“ matematikos atstovai – mokslininkai, besigilinantys į pačią matematiką, ieškantys grožio, darnos ir gilesnio jos konceptualių struktūrų bei abstrakcijų supratimo.
Tuo tarpu „taikomosios“ matematikos atstovai – tokie kaip mes abu – dažniau žvelgia į išorę: semiasi įkvėpimo iš realaus pasaulio problemų ir pasitelkia matematiką joms spręsti. Mūsų įsitikinimu, ilga šios veiklos istorija rodo, kokia brangi gali būti klaida perleisti matematikos supratimą mašinoms.
Nuo lygčių prie taikymų ir atgal
Šimtmečius mokslas ir technologijos vystėsi vykdant laipsnišką, tačiau itin sėkmingą procesą: stebėti gamtos dėsningumus, atskleisti jų pagrindinius principus ir išreikšti tuos principus matematiškai. ir tada panaudoti juos prognozuojant, kas nutiks toliau.
Izaokas Niutonas parodė, ką tas procesas gali pasiekti. Naudodamasis keliais matematiniais dėsniais, jis paaiškino ir obuolio kritimą, ir planetų judėjimą. Po trijų šimtų metų tie patys dėsniai padėjo astronautams nuvykti į Mėnulį ir saugiai pargabenti juos namo.
Vėl ir vėl lėtas perėjimas tarp lygčių ir taikymų kartu pastūmėjo matematiką ir inžineriją į priekį. Paimkime belaidžio ryšio istoriją. XIX amžiuje Michaelas Faradėjus atrado empirinius dėsnius apie magnetus ir elektros sroves; Jamesas Clerkas Maxwellas juos perkėlė į matematiką ir numatė elektromagnetinių bangų egzistavimą. Sekite šį supratimą ir galiausiai gausite radiją, televiziją, belaidį ryšį ir mobiliuosius telefonus.
Šis ilgas bandymų ir klaidų procesas bei žmonių supratimas, prie kurio jis vedė, paskatino kiekvieną vėlesnę fizikos revoliuciją. Reliatyvumas galiausiai leido sukurti GPS. Kvantinė mechanika lėmė lazerių, tranzistorių ir daugelio šiuolaikinės elektronikos įrenginių atsiradimą. Su supratimu atsirado prognozavimas, o su prognozavimu – galia.
XX amžiaus viduryje mokslininkai ir inžinieriai susidūrė su stulbinamo masto problemomis – per daug kintamųjų, per daug sąveikų, per daug skaičiavimų, kad žmogus galėtų su jais susidoroti. Antrasis pasaulinis karas šią problemą iškėlė į kulminaciją. Artilerijos trajektorijų skaičiavimas, kodų dešifravimas, sprogimų smūginių bangų prognozavimas ir atominių ginklų projektavimas reikalavo matematikos taikymo milžinišku, precedento neturinčiu mastu. Žmonėms reikėjo pagalbos.
Šiuolaikiniai kompiuteriai pasirodė kaip tik laiku. Iš pradžių juose nebuvo nieko filosofiškai grėsmingo. Tai buvo pašlovintos sudėtinės mašinos: greiti, nenuilstantys tarnai, kurie paklusniai atlikdavo skaičiavimus, kurie buvo pernelyg sudėtingi bet kuriam žmogui.
Po karo kompiuteriai įsitvirtino ir civiliniame gyvenime: padėjo įmonėms tvarkyti apskaitą, valdyti duomenų bazes, sudaryti skrydžių tvarkaraščius bei atlikti daugybę kitų užduočių. Palaipsniui jų vaidmuo plėtėsi. Kai beveik viską tapo įmanoma paversti skaičiais, kompiuteriai virto duomenų apdorojimo įrankiais, dovanojančiais mums kasdienius stebuklus, kuriuos dabar laikome savaime suprantamais dalykais: skaitmenines vaikų nuotraukas, kišenėje telpančias dainas ar žinutes, siunčiamas į bet kurį pasaulio kraštą.
Kelias į „suspaustąjį signalų atkūrimą“
Netrukus kompiuteriai ėmė keisti ir medicinos sritį.
Paimkime, pavyzdžiui, magnetinio rezonanso tomografiją (MRT). Šis tyrimas leidžia itin detaliai pamatyti minkštuosius kūno audinius – ko negali padaryti rentgenas – ir tai atliekama neapšvitinant paciento žalinga spinduliuote. Gydytojai šį metodą taiko diagnozuodami įvairias ligas bei traumas: nuo smegenų auglių ir išsėtinės sklerozės iki raiščių pažeidimų.
Tačiau MRT turi ir trūkumų. Įprastas tyrimas trunka nuo 30 iki 60 minučių, o kartais ir ilgiau. Jei pacientas pernelyg juda, krusteli koją ar giliai įkvepia, specialistui gali tekti pradėti viską iš naujo. Vaikams, kuriems sunku ramiai išgulėti, procedūros metu dažnai prireikia raminamųjų vaistų.
MRT tyrimas vyksta lėtai, nes jo metu surenkamas milžiniškas duomenų kiekis. Skirtingai nei rentgeno aparatas, kuris vaizdą užfiksuoja vienu blyksniu, MRT įrenginys veikia palaipsniui – kuria vaizdą dalis po dalies.
Bet kas būtų, jei norint gauti tinkamą vaizdą MRT nereikėtų rinkti visų tų duomenų? Kas būtų, jei visam vaizdui sukurti pakaktų tik dalies informacijos – tarsi užpildant trūkstamas vietas?
Būtent toks proveržis slypi už matematinio atradimo, vadinamo „suspaustuoju signalų atkūrimu“ (angl. *compressed sensing*). Pagrindinė įžvalga ta, kad MRT vaizde yra kur kas mažiau informacijos, nei galima būtų spręsti iš didžiulio pikselių skaičiaus. Gretimos vaizdo sritys dažnai yra panašios viena į kitą, o daugelis detalių matematiškai yra perteklinės. Tai reiškia, kad nebūtina visko matuoti. Pasitelkus tinkamus matematinius metodus, visam vaizdui atkurti gali pakakti stebėtinai nedidelio matavimų skaičiaus.
Tačiau iš kur atsirado šis proveržis? Dešimtmečius matematikai, mokslininkai ir inžinieriai grūmėsi su fundamentaliu realaus pasaulio faktu: jo signalai ir vaizdai pasižymi turtinga struktūra. Tai nėra atsitiktinės skaičių sankaupos – jie turi sudėtingus dėsningumus. Kraštovaizdžio nuotrauka, muzikos kūrinys ar balso skambesys – kiekviename iš jų slypi matematiniai dėsningumai, leidžiantys juos glaustai apibūdinti. Svarbiausia – rasti tinkamus „statybinius blokus“. Taip žvelgiant, natūralų duomenų rinkinį, kuriam, regis, reikia milijonų skaičių, kartais galima sumažinti iki vos keleto elementų.
Žmonėms išmokus išnaudoti šią natūralių vaizdų ir signalų savybę – vadinamąjį „retumą“ (angl. *sparsity*) [1], – su ja susijusi matematika nuolat keitėsi ir plėtojosi. Furjė analizė parodė, kaip iš paprastų bangų galima sukurti sudėtingus signalus ir vaizdus. Vaveletai (angl. *wavelets*) pasiūlė naują būdą išskirti svarbiausius statybinius blokus. Statistika ir optimizavimas padėjo nustatyti informatyviausius komponentus iš daugybės galimų variantų.
Savo indėlį įnešė ir netikėtas tarpdisciplininis bendradarbiavimas. Aštuntajame dešimtmetyje geofizikai bandė suprasti Žemėje sklindančias seismines bangas – tiek kylančias per žemės drebėjimus, tiek dirbtinai sukeltas ieškant naftos bei dujų. Panašiai kaip radiologai, naudodami MRT (magnetinio rezonanso tomografiją) ir žvelgdami į žmogaus kūno vidų, šie Žemės tyrinėtojai bandė atkurti kažką paslėpto, bet svarbaus – šiuo atveju giliai po žeme esančias struktūras.
XXI a. pradžioje šios anksčiau atskiros idėjų kryptys buvo pasirengusios susijungti. Jų vaisiumi tapo suspaustasis signalų atkūrimas (angl. *compressed sensing*). Lūžis įvyko tada, kai matematikai – tarp jų Emmanuelis Candèsas, Terence’as Tao (taip, tas pats Terry Tao) ir Davidas Donoho – griežtai įrodė, kad tinkamomis sąlygomis taikant šį metodą galima tiksliai atkurti vaizdą atlikus stebėtinai mažai matavimų. Šios matematinės garantijos abejones pavertė veiksmais, ir netrukus D. Donoho bei jo bendradarbiai Michaelas Lustigas ir Johnas Pauly pavertė teoriją praktine procedūra, prieinama gydytojams.
Rezultatai buvo įspūdingi. Pavyzdžiui, atliekant vaikų medicininius tyrimus, procedūra, kuri anksčiau trukdavo aštuonias minutes ir reikalavo sedacijos, dabar galėjo būti atlikta vos per minutę vaikui esant sąmoningam.
„Plėšriojo“ supratimo kaina
Štai kodėl taikomosios matematikos specialistui svarbus žmogaus gebėjimas suprasti. Tai leidžia mums paimti vienoje srityje sukurtą puikią idėją ir užtikrintai pritaikyti ją kaip įrankį kitoje. Štai kaip matematika atlieka tai, ko visuomenė iš jos pagrįstai tikisi – daro realią įtaką tikrajame pasaulyje.
O dabar, hipotetiškai, įsivaizduokite, kad dirbtinio intelekto modelis galėtų apeiti visą šį sunkiai įgytą supratimą ir iškart pereiti prie daug spartesnio MRT tyrimų atlikimo būdo, neatskleisdamas, kaip prie to priėjo. Medicininiu požiūriu tai būtų nuostabus pasiekimas.
Tačiau ką tik aptarta istorija mums suteikia pagrindo ir verta gerai pagalvoti prieš pareiškiant, kad žmogaus gebėjimas suprasti yra nereikalingas. Juk nežinome, ką galėtume prarasti – kokių naujų idėjų, netikėtų sąsajų ar pritaikymo būdų galėtų atsirasti, jei suprastume, kodėl konkretus metodas veikia.
Žvelgiant iš šios perspektyvos, Terence’o Tao nuogąstavimas dėl „išsemtų telkinių“ (angl. *strip-mining*) atrodo ne tiek kaip matematikų noras pasilikti uždavinius sau, kiek kaip susirūpinimas dėl to, ką galėtų prarasti visa žmonija. Tiesa, supratimas visada teikė asmeninį malonumą matematikams. Tačiau jis ne kartą yra padovanojęs žmonijai ir tokių dalykų, apie kurių poreikį ji net nenutuokė.
Stevenas Strogatzas yra Kornelio universiteto „Susan and Barton Winokur“ vardo profesorius, atsakingas už mokslo ir matematikos populiarinimą visuomenėje. Alexas Townsendas – Kornelio universiteto matematikos docentas. Jų knyga „Big Math: The Hidden Codes That Run Our World“ („Didžioji matematika: paslėpti kodai, valdantys mūsų pasaulį“) pasirodys lapkričio mėnesį." [2]
1. Retumas (angl. *sparsity*) yra esminė natūralių vaizdų ir signalų savybė, reiškianti, kad didžiąją dalį svarbios informacijos galima sutalpinti į vos kelias reikšmes, o likusi signalo dalis sudaryta iš duomenų, kurie yra artimi nuliui arba turi daug perteklinių elementų.
Pradinės formos signalai, pavyzdžiui, garso įrašai ar skaitmeninės nuotraukos, atrodo tankūs ir sudėtingi. Tačiau pritaikius tinkamą matematinį transformavimą, atsiskleidžia jų retumo savybė.
Kaip retumas veikia praktiškai
• Pradinė būsena (tanki): Didelės raiškos skaitmeninėje nuotraukoje yra milijonai pikselių. Kiekvienas pikselis turi konkrečią spalvos reikšmę.
• Transformavimas: Pritaikę matematinę transformaciją – pavyzdžiui, diskrečiąją kosinusų transformaciją (DCT), naudojamą JPEG glaudinime, – pakeičiate duomenų pateikimo būdą.
• Retumo būsena: Šioje naujoje matematinėje išraiškoje vos keli koeficientai apibūdina ryškius kontūrus, pagrindines formas ir spalvas. Didžioji dalis kitų koeficientų atitinka vientisas sritis arba nepastebimas detales ir tampa lygūs nuliui.
Kodėl retumas svarbus
Retumas yra matematinis pagrindas daugeliui šiuolaikinių technologijų, kuriomis kasdien naudojamės:
• Duomenų glaudinimas: Kadangi transformacijų srityje natūralūs vaizdai pasižymi retumu, tokie failų formatai kaip JPEG ir MP3 gali atmesti duomenis, kurių reikšmės artimos nuliui. Tai gerokai sumažina failų dydį, tačiau kokybė pastebimai nenukenčia.
• Glaudinamasis signalų registravimas (angl. *compressed sensing*): Tradiciškai norint užfiksuoti signalą, reikia jį diskretizuoti labai dideliu dažniu (vadinamuoju Naikvisto dažniu). Retumo savybė leidžia mokslininkams užfiksuoti signalą atliekant kur kas mažiau matavimų, nei anksčiau manyta įmanoma, nes jau žinome, kad didžioji dalis duomenų struktūros bus tuščia arba perteklinė.
• Efektyvus MRT tyrimas: Medicininio vaizdavimo srityje taikant glaudinamąjį signalų registravimą ir išnaudojant retumo savybę, aukštos kokybės MRT vaizdai atkuriami iš mažesnio pradinių duomenų kiekio. Dėl to sutrumpėja laikas, kurį pacientas turi nejudėdamas gulėti triukšmingame MRT aparate.
• Mašininis mokymasis ir triukšmo šalinimas: DI algoritmai naudoja retumo apribojimus, kad atskirtų tikruosius dėsningumus (retą, prasmingą signalą) nuo atsitiktinio foninio triukšmo (kuris paprastai yra išsklaidytas ir nepasižymi retumu).
2. Mathematics Isn’t Just a Game to Let A.I. Solve. History Shows Why. Strogatz, Steven; Townsend, Alex. New York Times (Online) New York Times Company. Sep 22, 2026.
Komentarų nėra:
Rašyti komentarą