Matematikos planeta

 

"Pirmoji kalendorinės žiemos diena, didžiojo rusų matematiko Nikolajaus Ivanovičiaus Lobačevskio gimtadienis, šiemet paskelbta Matematiko diena. Kaip šis mokslas dera į mūsų kasdienybę? 

 

Paaiškinimui lengviausia remtis tuo, kad šis mokslas yra fizikos kalba, kuria remiasi dauguma mus supančių technologijų.

 

Pavyzdžiui, kvantinė fizika suformuluota, kaip „Hilberto erdvės“, kurias daugiau, nei prieš 100 metų išrado didysis vokiečių matematikas Davidas Hilbertas. Tada niekas nežinojo apie kvantinius elektroninius prietaisus, tokius, kaip procesoriaus tranzistoriai ir išmaniojo telefono, kuriame, galbūt, dabar skaitote šį tekstą, ekrane esančius šviesos diodus, tačiau Hilberto erdvės galiausiai padarė jų išradimą, skaičiavimą ir gamybą įmanomus (kaip ir, tikriausiai, padarė kvantinį kompiuterį įmanomu).

 

Tačiau tai dar ne visa matematika, kuri atsiduria jūsų rankose vos išsiėmus išmanųjį telefoną. Kai skambinate arba atsiskaitote bekontakčiu būdu prie kasos, jūsų išmaniajame telefone veikia informacijos teorija ir skaičių teorija. Būtent jų dėka jūsų kalbos garsas yra patikimai užkoduotas nuo trukdžių, net esant silpnam signalui, o bankas gauna šifru apsaugotą komandą nurašyti pirkimo kainą iš sąskaitos.

 

Tokius pavyzdžius nesunku padauginti, tačiau bendras jų trūkumas yra tas, kad jie piešia matematiką, kaip laisvai susijusių burtų rinkinį iš kažkokio magiško meno, o bendras vaizdas nesurenkamas. Norėdami pamatyti šį paveikslą bent bendrai, pabandykime palyginti šį mokslą su tokia planeta, kaip Žemė.

 

Matematika yra apie tai, kaip ką nors apskaičiuoti, ar ne? 

 

Skaičiavimo metodai ir algoritmai, tokie, kaip ką tik minėti triukšmui atsparūs kodai ir kriptografinės apsaugos algoritmai, sudaro šios planetos „plutą“. Tai jos kalnai, upės, ežerai ir jūros, karjerai, kasyklos ir naftos gręžiniai – viskas, kas matoma plika akimi, nuo ko pradėjome, ir kas sudaro matematikos pritaikymą kituose moksluose ir technologijų srityse.

 

Mantija yra paslėpta po planetos pluta - ją galima palyginti su konkrečiomis matematinėmis teorijomis, kuriose yra šių metodų ir algoritmų pagrindimas. Šiame lygyje, nematomame išoriniam stebėtojui, mokslininkai dirba, kurdami didžiąją dalį matematinių rezultatų, dėl kurių vyksta jos, kaip mokslo, raida.

 

Tačiau kai kurie iš šių rezultatų savo išvaizda taip pakeičia mantijos struktūrą (o kartu ir plutos kraštovaizdį), kad jie teisingai laikomi matematikos „šerdimi“. Štai paprastas pavyzdys. XVI amžiuje italų matematikai, kūrę algebrinių lygčių sprendimo metodus, atrado, kad jei „įsivaizduojamiems skaičiams“ – neigiamų skaičių kvadratinėms šaknims – būtų taikomos įprastos aritmetikos taisyklės, jie galėtų išspręsti kitaip neišsprendžiamas lygtis. Tai atrodė kaip įdomus algebrinis išradimas - tai yra, mūsų analogijos požiūriu, atrodė, kad jie užbaigė dalį matematinės planetos „mantijos“.

 

Tačiau per ateinančius kelis šimtmečius pamažu paaiškėjo, kad kompleksiniai skaičiai, ty tie, kurie gali būti sudaryti iš realių ir įsivaizduojamų dalių kartu, turi turtingiausias geometrines ir topologines savybes. Tyrinėdamas funkcijas, susiejančias kompleksinius skaičius su kitais kompleksiniais skaičiais, Riemanas priėjo prie „Riemano paviršiaus“ sampratos ir, ją apibendrindamas, gavo „Riemano erdvę“, kurios pagalba Einšteinas po kelių dešimtmečių suformulavo jo bendrąją reliatyvumo teoriją. Lygiagrečiai paaiškėjo, kad kompleksinių skaičių kalba patogu apibūdinti visų rūšių virpesius ir apskaičiuoti kintamosios srovės elektros grandines.

 

Taigi konstrukcija, kuri iš pirmo žvilgsnio buvo grynai algebrinė (ir kurią vienas iš jos kūrėjų Girolamo Cardano laikė „tokiomis subtiliomis, kad vargu ar iš jos bus daug naudos“), pasirodė esąs tiltas, jungiantis visiškai skirtingas matematikos šakas, kai kurios iš jų kompleksinių skaičių  išradimo   metu tiesiog neegzistavo. Be to, visas šis pasaulis buvo „paslėptas“ jau originaliose del Ferro, Tartaglia ir Cardano konstrukcijose, tačiau jis pasirodė toks turtingas, kad iki galo jį atskleisti sugebėjo tik kelios specialistų kartos.

 

Prisimindami kalendorinę datą, kuri tapo šių užrašų priežastimi, tarkime, kad Lobačevskio geometrija, be abejo, taip pat yra matematikos „branduolio“ dalis. Tuo istoriniu momentu, kai mokslininkas kolegoms pristatė jo darbus, kolegos žiūrėjo skeptiškai, netgi priešiškai.

 

Tačiau iki XIX amžiaus antrojo trečdalio pabaigos buvo pripažinta ne tik Lobačevskio geometrija, bet po jos susikaupė daug daugiau kitų neeuklido geometrijų atmainų, ir Feliksas Kleinas sugebėjo suformuluoti pagrindinį principą: kiekviena iš geometrijų turi savo erdvės transformacijų rinkinį, o kiekvienos geometrijos objektai yra atitinkami „invariantai“, tai yra tai, kas nesikeičia transformacijų metu: kampai ir atstumai euklidinių sukimų metu arba tiesės ir jų susikirtimai sukimosi metu aktyviose transformacijose.

 

Šis Kleino atradimas taip pat priešpastatė algebrą ir geometriją. Šį kartą geometrinė struktūra buvo atrasta ne algebroje, kaip tai buvo kompleksinių skaičių atveju, bet, priešingai, pasirodė teisinga geometriją apibūdinti per algebrinių transformacijų grupes. Šios programos nuoseklus vykdymas tapo viena pagrindinių XX amžiaus matematikos temų.

 

Įdomu tai, kad maždaug tais pačiais metais, kai Kleinas kūrė jo programą, daugelis, pavyzdžiui, Alfredas Nobelis, laikė matematiką baigtu mokslu, kuriame nieko daugiau nebus atrasta. Tačiau Lobačevskio, kaip ir daugelio kitų po jo, atradimo likimas rodo, kad vystymosi potencialas nebuvo išnaudotas ir, matyt, niekada nebus išnaudotas.

 

Tai reiškia, kad magiškų burtų, kurių pagalba technologija veikia ir, galiausiai, kuria bei praturtina mūsų kasdienybę, daugės.“